Как вы знаете, помимо индекса Джини ($G$) существует ещё один показатель неравенства доходов — индекс Робин Гуда ($H$). Он показывает, какая минимальная доля суммарного дохода должна быть перераспределена от более богатых к бедным, чтобы в обществе наступило полное равенство.
Учитывая, что индекс Робин Гуда можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, докажите, что для любых распределений дохода выполняются неравенства:
$$H \leqslant G \leqslant 2H.$$
Автор
3) Нижняя оценка: $H \leqslant G$.
Кривая Лоренца по определению выпукла вверх: её график лежит не выше любой своей хорды.
Понимая, что $d(x) = x - y(x)$ и кривая Лоренца по определению выпукла вверх, $d(x)$ - вогнутая функция (разность линейной функции и выпуклой функции).
Обозначим точку, в которой $d(x)$ достигает максимума, через $x_0$, т.е. $ d(x_0) = H.$
Рассмотрим три точки на графике $d(x)$:
\[
A=(0,0),\quad B=(x_0,H),\quad C=(1,0).
\]
Из вогнутости $d(x)$ следует:
1. на отрезке $[0,x_0]$ график $d(x)$ лежит не ниже хорды $AB$;
2. на отрезке $[x_0,1]$ график $d(x)$ лежит не ниже хорды $BC$.
Значит, площадь под графиком $d(x)$ на $[0,1]$ не меньше площади под ломаной, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, а последняя равна площади треугольника $ABC$.
У треугольника $ABC$ основание по оси $x$ равно $1$ (от $0$ до $1$), а высота по оси $y$ равна $H$. Поэтому его площадь равна
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot H = \frac{H}{2}.
\]
Так как график $d(x)$ не ниже ломаной, площадь под графиком $d(x)$ не меньше $S_{ABC}=\frac{H}{2}$. Откуда
\[
G = 2S \geqslant 2\cdot \frac{H}{2} = H.
\]
4) Вывод: для любых допустимых кривых Лоренца всегда выполнется неравенство
\[
H \leqslant G \leqslant 2H.
\]
