Аннуитет

Канал об олимпиадной экономике: https://t.me/economybyanton Чтобы кредит был выплачен, долг на конец $n$ периода должен быть равен нулю: \[ (...(S(1+r)-x)(1+r)-x)(1+r)-x) ... )(1+r)-x= 0 \] или \[ S(1+r)^n - x\left[(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r) + 1\right] = 0 \] Сумма в квадратных скобках — это сумма геометрической прогрессии: \[ (1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r) + 1 = \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r) - 1} = \frac{(1+r)^n - 1}{r} \] Найдем ежегодную выплату $x$: \[ S(1+r)^n - x \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0 \] \[ x = S \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1} \] Теперь докажем, что \( x \) возрастает с ростом \( r \), рассматривая функцию: \[ f(r) = \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1} \] Разделим числитель и знаменатель на \( (1+r)^n \): \[ f(r) = \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}} \] Положим \( f(r) = \frac{r}{g(r)} \) и найдем её производную: \[ f'(r) = \frac{g(r) - rg'(r)}{[g(r)]^2} \] \( g(r) - r g'(r) = 1 - (1+r)^{-n} - r \cdot n(1+r)^{-n-1} \) Умножим на \( (1+r)^{n+1} > 0 \): \[ h(r)=(1+r)^{n+1} - (1+r) - rn = (1+r)^{n+1} - 1 - r(n+1) \] Производная полученной функции: \[ h'(r)=(n+1)(1+r)^n - (n+1) = (n+1)[(1+r)^n - 1] > 0 (r,n>0) \] С учетом $h(r=0)=0$.числитель \( f'(r) \) положителен, значит \( f'(r) > 0 \) и \( x(r) \) возрастают. Проанализируем переплату: если общая сумма выплат \( nx\), переплата составит: \[ \Pi = nx(r) - S \] Так как \( x(r) \) возрастает, то \( nX(r)-S \) также возрастает.