Задачи

Докажите следующую формулу коэффициента Джини для $n$ групп: $$G=\sum_{i=1}^{n-1}(y_{i+1}\cdot x_i-y_i\cdot x_{i+1}), \text{ где } x — \text{ доля населения, а } y \text{ — доля дохода}$$ <em><ins>Hint:</ins></em> Выведите формулу площади треугольника через координаты его вершин $(0;0), \;(x_i;x_i),\; (x_{i+1};y_{i+1}),\;$ если $\;0 \lt x_i \lt x_{i+1}\;$ и $\;0 \lt y_i \lt y_{i+1}$.

Кривая Лоренца задана окружностью произвольного радиуса $R\geq 1$. Определите значение коэффициента Джини в зависимости от $R$. <em><ins>Hints:</ins></em> 1) Площадь сегмента окружности: $$S=\frac{R^2}{2}(\alpha-sin\alpha), \text{ где } \alpha — \text{ центральный угол сегмента в радианах.}$$ 2) Теорема косинусов: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\alpha$$

Определите значение индекса Робин Гуда для следующей кривой Лоренца: $$x=\frac{5}{13}y^3-y^2+\frac{21}{13}y, \;\;\; \text{где } x \text{ — доля населения, а } y \text{ — доля дохода}$$ <em>Индекс Робин Гуда равен минимальной доле суммарного дохода, которая должна быть перераспределена для достижения абсолютного равенства в распределении доходов.</em>

Рассмотрим страну, которая производит два товара — $X$ и $Y$, для производства которых нужен только один ресурс — $K$. Всего в стране имеется 2500 ед. ресурса $K$, а производственные функции стран заданы уравнениями: $$X=\frac{\sqrt{K_X}}{2}; \;\;\; Y=\frac{K_Y}{4}$$ Постройте КПВ и задайте ее уравнением. а) Постройте КТВ и выведите ее уравнение при условии, что цена на товар $X$ оказалась в $...