КПВ из выручки

Канал об олимпиадной экономике: https://t.me/economybyanton Пусть вектор цен $\vec{p}$ имеет координаты $(p_x, p_y)$, а вектор объёмов производства $\vec{q}$ — $(x, y)$. Тогда совокупная выручка представляет собой скалярное произведение: \[ TR = \vec{p} \cdot \vec{q} = p_x x + p_y y. \] Это выражение можно записать как: \[ TR = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos\alpha, \] где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Из условия следует, что при $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = 10$ максимальная выручка составляет $TR_{\text{max}} = 100$. Подставим эти значения: \[ 100 = 10 \cdot |\vec{q}| \cdot \cos\alpha. \] Максимальная выручка для данной КПВ и заданного вектора цен $\vec{p}$ достигается в точке, где $\vec{q}$ сонаправлен с $\vec{p}$ (т.е. $\cos\alpha = 1$), и лежит на границе множества производственных возможностей. Следовательно, для вектора цен с $|\vec{p}|=10$ существует такой вектор производства $\vec{q}^*$ на КПВ, что: \[ 100 = 10 \cdot |\vec{q}^*| \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad |\vec{q}^*| = 10. \] Это означает, что для некоторых направлений вектора $\vec{p}$ (а именно, для тех, где $|\vec{p}|=10$) оптимальная точка производства лежит на окружности радиуса 10. Ключевое наблюдение: Поскольку КПВ выпукла, а альтернативная стоимость меняется от $0$ до $\infty$, КПВ должна быть гладкой и «касаться» окружности $x^2+y^2=100$ во всех точках. Если бы это было не так, то для некоторых ценовых векторов с $|\vec{p}|=10$ максимальная выручка была бы меньше 100, что противоречило бы условию. Следовательно, граница области производственных возможностей задаётся уравнением: \[ x^2 + y^2 = 100. \] Проверим выполнение условий задачи. 1. Альтернативная стоимость производства $X$ в точке $(x, y)$ равна: \[ AC_x=|y'_x| = \bigg|-\frac{x}{\sqrt{100 - x^2}}\bigg|=\bigg|-\frac{x}{y}\bigg|= \frac{x}{y}. \] При движении вдоль КПВ от точки $(0, 10)$ к точке $(10, 0)$ величина $\frac{x}{y}$ монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$, что удовлетворяет условию. 2. В оптимуме наклон КПВ равен наклону линии бюджетного ограничения (линии постоянной выручки): \[ |y'_x| = \frac{p_x}{p_y} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{y} = \frac{p_x}{p_y}. \] Отсюда $y = \frac{p_y}{p_x} x$. Подставим в уравнение КПВ: \[ x^2 + \left( \frac{p_y}{p_x} x \right)^2 = 100, \] \[ x^2 \left(1 + \frac{p_y^2}{p_x^2}\right) = 100, \] \[ x^2 \cdot \frac{p_x^2 + p_y^2}{p_x^2} = 100 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10 p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}. \] Аналогично находим: \[ y = \frac{10 p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}. \] Рассчитаем максимальную выручку при произвольных ценах $(p_x, p_y)$: \[ TR_{\text{max}} = p_x x + p_y y = p_x \cdot \frac{10 p_x}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} + p_y \cdot \frac{10 p_y}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} = \frac{10 (p_x^2 + p_y^2)}{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}} = 10 \sqrt{p_x^2 + p_y^2}. \] Согласно условию, на кривой $p_y = \sqrt{100 - p_x^2}$ (или $p_x^2 + p_y^2 = 100$) выручка равна $100$. Подставляя это тождество в формулу для $TR_{\text{max}}$, получаем: \[ TR_{\text{max}} = 10 \sqrt{100} = 100, \] что полностью соответствует условию.