144 спроса

Канал об олимпиадной экономике: https://t.me/economybyanton 1. Заметим, что покупатель будет участвовать в рынке только при условии: \[ q_i^d \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i - p \geq 0 \quad \Rightarrow \quad i \geq p \] Таким образом, при цене $p$ покупатели с $i < p$ не участвуют в рынке ($q^d_i=0$). 2. Совокупный спрос: При целой цене $p$ покупатели с $i = p, p+1, \dots, 144$ формируют спрос: \[ Q^d = \sum_{i=p}^{144} (i - p) \] Это сумма арифметической прогрессии c количеством членов $m = 144 - p + 1$: \[ Q^d = \sum_{k=0}^{144-p} k = \frac{(144-p)(145-p)}{2} \] 3. Условие рыночного равновесия: \[ Q^d = Q^s \] \[ \frac{(144-p)(145-p)}{2} = 26p \] Умножим обе части на 2: \[ (144-p)(145-p) = 52p \] Решение квадратного уравнения: \[ p^2 - 341p + 20880 = 0 \] \[ p_1 = \frac{341 + 181}{2} = \frac{522}{2} = 261 \] \[ p_2 = \frac{341 - 181}{2} = \frac{160}{2} = 80 \] 4. Выбор экономически осмысленного корня: При $p = 261$: покупатели участвуют только при $i \geq 261$, но максимальный номер покупателя -- 144. Следовательно, спрос равен 0. При $p = 80$: покупатели с $i \geq 80$ участвуют в рынке. Это допустимая цена. 5. Равновесное количество: Подставим $p^* = 80$ в функцию предложения: \[ Q^* = 26 \cdot 80 = 2080 \] Проверим по функции спроса: \[ Q^d = \frac{(144-80)(145-80)}{2} = \frac{64 \cdot 65}{2} = \frac{4160}{2} = 2080 \]