В этой задаче описана последовательная игра между государством и монополией. Государство ходит первым, оно максимизирует полезность, выбирая пол $P_{MIN}$ и/или потолок $P_{MAX}$ для цены $P$. Монополия ходит второй, она максимизирует прибыль, выбирая цену $P^\ast$ в пределах $[P_{MIN};P_{MAX}]$, а также величину качества $q^\ast$. Поскольку информация симметрична, то ходящее первым государство будет учитывать дальнейшие действия монополии, ведь от них будет завить его полезность. Поэтому мы, как обычно, начинаем решать последовательную игру с конца, то есть с проблемы монополиста.
Прибыль монополиста имеет следующий вид: $$\pi\left(P,q\right)=PQ-C\left(Q,q\right)=PQ-cqQ=A\sqrt q-cq\frac{A\sqrt q}{P}=Aq^{1/2}-cA\frac{q^{3/2}}{P}\rightarrow\max_{P,q},$$
при ограничениях $P_{MIN}\le P\le P_{MAX}$ и $q\geq0$ (так как в формуле для $Q^D$ переменная $q$ стоит под корнем). Заметим, что с ростом $P$ прибыль всегда увеличивается, значит, $P^\ast=P_{MAX}$. Тогда оптимизационную задачу можно переписать следующим образом: $$\pi\left(q\right)=Aq^{1/2}-cA\frac{q^{3/2}}{P_{MAX}}\rightarrow\max_{q\geq0}.$$ Берём производную от прибыли по качеству, приравниваем её к нулю и выражаем оптимальное качество $q^\ast$ через потолок цены $P_{MAX}$: $$\pi'\left(q\right)=A\frac{1}{2}q^{-1/2}-\frac{cA}{P_{MAX}}\frac{3}{2}q^{1/2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \pi'\left(q^\ast\right)=A\frac{1}{2}{(q^\ast)}^{-1/2}-\frac{cA}{P_{MAX}}\frac{3}{2}{(q^\ast)}^{1/2}=0\ \ \ \Rightarrow$$ $$\Rightarrow\ \ \ 1-\frac{3c}{P_{MAX}}q^\ast=0\ \ \ \Rightarrow\ \ \ q^\ast=\frac{P_{MAX}}{3c}.$$ Итак, монополист выбирает качество, прямо пропорциональное потолку цены. Заметим, что пол цены $P_{MIN}$ не оказывает на выбор монополиста никакого влияния, поэтому государство может его не устанавливать.
Ещё раз: устанавливаемый государством потолок цены $P_{MAX}$ определяет выбираемое монополистом качество $q^\ast$. Это качество $q^\ast$ в свою очередь определяет объём производства $Q^\ast$, а также прибыль монополиста $\pi\left(q^\ast\right)$ и размер налоговых сборов государства $TaxRev=\pi\left(q^\ast\right)\cdot t$, поэтому, прежде чем переходить к оптимизационной задаче государства, следует выразить выпуск $Q^\ast$ и налоговые сборы как функции от устанавливаемого государством потолка цены $P_{MAX}$.
Монополист выбирает следующий объём производства: $$Q^\ast=Q^D(P_{MAX},q^\ast)=\ \frac{A\sqrt{q^\ast}}{P_{MAX}}=\frac{A\sqrt{\frac{P_{MAX}}{3c}}}{P_{MAX}}={P_{MAX}}^{-1/2}\cdot{const}_1.$$ Чтобы рассчитать размер налоговых сборов, находим прибыль в оптимуме: $$\pi\left(q^\ast\right)=A\left(\frac{P_{MAX}}{3c}\right)^{1/2}-cA\frac{\left(\frac{P_{MAX}}{3c}\right)^{3/2}}{P_{MAX}}=\ {P_{MAX}}^{1/2}\left(A\left(\frac{1}{3c}\right)^{1/2}-cA\left(\frac{1}{3c}\right)^{3/2}\right),$$ и подставляет её в функцию налоговых сборов: $$TaxRev=\pi\left(q^\ast\right)\cdot t={P_{MAX}}^{1/2}\left(A\left(\frac{1}{3c}\right)^{1/2}-cA\left(\frac{1}{3c}\right)^{3/2}\right)t={P_{MAX}}^{1/2}\cdot{const}_2.$$ Следовательно, оптимизационную задачу государства можно записать так:
$$u\left(Q,TaxRev\right)=a\ ln\left(Q\right)+b\ ln\left(TaxRev\right)=$$ $$=a\ ln\left({P_{MAX}}^{-1/2}\cdot{const}_1\right)+b\ ln\left({P_{MAX}}^{1/2}\cdot{const}_2\right)= $$ $$=a\ ln\left({const}_1\right)-\frac{1}{2}a\ ln\left(P_{MAX}\right)+b\ ln\left({const}_2\right)+\frac{1}{2}b\ ln\left(P_{MAX}\right)= $$ $$=\left(a\ ln\left({const}_1\right)+b\ ln\left({const}_2\right)\right)+\frac{1}{2}(b-a) ln P_{MAX}→\max_{P_{MAX}≥0}.$$
Мы выразили полезность как функцию от $P_{MAX}$. Запишем подробный ответ:
$\bullet$ Если $b>a$, то оптимальным для государства будет установить как можно более высокую цену: $P_{MAX}\rightarrow\infty$, отчего равновесное качество примет своё максимальное возможное значение: $q^\ast=\frac{P_{MAX}}{3c}\rightarrow\infty$ (такое решение будет принято монополистом).
$\bullet$ Если $a>b$, то государству будет выгодно установить потолок цены как можно ниже: $P_{MAX}=0$. При $P_{MAX}=0$ объём спроса не определён, поэтому напрямую рассчитать прибыль нельзя. Однако в пределе при $P_{MAX}\rightarrow 0$ прибыль $\pi\left(q^\ast\right)={P_{MAX}}^{1/2}\left(A\left(\frac{1}{3c}\right)^{1/2}-cA\left(\frac{1}{3c}\right)^{3/2}\right)\rightarrow 0$, то есть монополия будет продолжать функционировать, а качество примет своё минимальное возможное значение: $q^\ast=\frac{P_{MAX}}{3c}\rightarrow 0$. Комментарий: при таком раскладе фирма производит огромное количество продукции с минимальным качеством и нулевой себестоимостью и даром отдаёт её покупателям, то есть выполняет роль некоммерческой государственной организации.
$\bullet$ Наконец, если $a=b$, то полезность государства не зависит от величины $P_{MAX}$, государство может присвоить ей любое неотрицательное значение. Но каким бы ни было $P_{MAX}$, качество составит $q^\ast=\frac{P_{MAX}}{3c}$.
