Консультанты

Знаменитая консалтинговая компания MBB занимается оптимизацией процессов на различных предприятиях, отправляя туда команды консультантов. Оптимизацию процессов на одном предприятии назовем проектом (пример проекта: улучшение структуры управления на металлургическом комбинате $X$). Проект длится один месяц. Консультанты бывают двух типов –– опытные и неопытные. Для качественного выполнения проекта в срок можно поставить на проект либо двух опытных консультантов, либо одного опытного и трех неопытных (без одного опытного никак не обойтись, но в одиночку ему не справиться). Консультант может работать одновременно только над одним проектом. Зарплата одного неопытного консультанта равна $100$ тыс. руб. в месяц, и предложение их услуг на рынке не ограничено (выпускников экономических и математических факультетов –– множество). Опытные же консультанты –– редкий вид, их приходится с трудом переманивать из конкурирующих компаний, и поэтому найм каждого следующего обходится дороже. Чтобы нанять $L$ опытных консультантов, фирме нужно затратить $L \cdot (240 + L)$ тыс. руб. в месяц. Всего в следующем месяце фирма собирается выполнить $Q$ проектов.

(15 баллов) Допустим, $Q = 25$. Сколько опытных и неопытных консультантов ей следует нанять, чтобы минимизировать издержки на выполнение проектов?
(15 баллов) При каких значениях $Q$ фирма не будет нанимать неопытных консультантов?

Сложность

Автор

Алексей Суздальцев

Решение и ответ

В пункте 1 приведено решение для произвольного $Q$, потому что это удобно для выводов пункта 2. Участник может решать первый пункт сразу для $Q = 25$, баллы за это не снижаются, схема проверки написана для решения при $Q = 25$. Решение для произвольного $Q$, выполненное в этом пункте, может принести баллы в пункте 2.

Пусть $q_1$ - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а $q_2$ - количество проектов, на которые фирма будет ставит только двух опытных консультантов, $q_1 + q_2 = Q$. Обозначим за $l$ количество неопытных консультантов, за $L$ –– количество опытных. Тогда $l = 3q_1$, $L = q_1 + 2q_2$. Затраты компании на услуги труда консультантов равны $$C = 100l + L \cdot (240 + L)$$ Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях $l = 3q_1$, $L = q_1 + 2q_2$, $q_1 + q_2 = Q$. Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре ($q_1$, $q_2$, $l$ и $L$), это можно сделать четырьмя способами (на олимпиаде, конечно, достаточно представить один корректный способ решения). Способ 1 (по $q_2$). Подставим выражения для $l$ и $L$ в целевую функцию: $$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100 \cdot 3q_1 + 240(q_1 + 2q_2) + (q_1 + 2q_2)^2$$ Затем, подставляя $q_1 = Q − q_2$, получаем $$C = 540(Q − q_2) + 480q_2 + (Q + q_2)^2 = q_2^2 − (60 − 2Q)q_2 + Q^2 + 540Q$$ Фирма минимизирует значение этого выражения по $q_2$ на отрезке $[0; Q]$. Относительно $q_2$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $q^*_2 = 30 − Q$, если $q^*_2 ∈ [0; Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $q_2$ $(C′ = 2q_2 − (60 − 2Q))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума. При $Q = 25$ имеем $q^*_2 = 30 − 25 = 5 ∈ [0; 25]$. Способ 2 (по $q_1$). Подставим выражения для $l$ и $L$ в целевую функцию: $$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100 ⋅ 3q_1 + 240(q_1 + 2q_2) + (q_1 + 2q_2)^2$$ Затем, подставляя $q_2 = Q − q_1$, получаем $$C = 540q_1 + 480(Q − q_1) + (2Q − q_1)^2 = q^2_1 + (60 − 4Q)q_1 + 4Q^2 + 480Q$$ Фирма минимизирует значение этого выражения по $q_1$ на отрезке $[0; Q]$. Относительно $q_1$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $q_1^* = 2Q − 30$, если $q^*_1 ∈ [0; Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $q_1$ $(C' = 2q_1 + (60 − 4Q))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума. При $Q = 25$ имеем $q^*_1 = 50 − 30 = 20 ∈ [0; 25]$. Окончание способов 1 и 2. Значит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 – группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет $l = 3q_1 = 60$ неопытных и $L = q_1 + 2q_2 = 30$ опытных консультантов. Способ 3 (по $l$). Выразим $q_1$ и $q_2$ через $l$ и $L$. $q_1 = l/3$, и поэтому $L = q_1 + 2q_2 = l/3 + 2q_2$. Отсюда $q_2 = \frac{L − l/3}{2}$. Значит, ограничение $q_1 + q_2 = Q$ принимает вид $l/3 + \frac{L − l/3}{2} = Q$, то есть $l/6 + L/2 = Q$. Oтсюда $L = 2Q − l/3$. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем $$C = 100l + L \cdot (240 + L) = 100l + 480Q − 80l + (2Q−l/3)^2 = l^2/9 + (20 − 4Q/3)l + 480Q + 4Q^2$$ Фирма минимизирует значение этого выражения по $l$ на отрезке $[0; 6Q]$. Относительно $l$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $l^* = 6Q − 90$, если $l^* ∈ [0; 6Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $l$ $(C' = 2l/9 + (20 − 4Q/3))$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума. При $Q = 25$ имеем $l^* = 150 − 90 = 60 ∈ [0; 6 \cdot 25]$. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет $60$ неопытных и $L^* = 2 \cdot 25 − l^*/3 = 30$ опытных консультантов. Способ 4 (по $L$). Аналогично способу 3, получаем, что $l/6 + L/2 = Q$. Отcюда $l = 6Q − 3L$. Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем $$C = 100l + L \cdot(240 + L) = L^2 + 240L + 100(6Q − 3L) = L^2 − 60L + 600Q$$ Фирма минимизирует значение этого выражения по $L$ на отрезке $[0; 2Q]$. Относительно $L$ это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине $L^* = 30$, если $L^* ∈ [0; 2Q]$. Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по $L$ $(C' = 2L−60)$ и приравняв ее к $0$. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с $−$ на $+$ (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна $2$, то есть положительна), так что это точка минимума. При $Q = 25$ имеем $L^* = 30 ∈ [0; 2 \cdot 25]$. Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет $30$ опытных консультантов и $6 \cdot 25 − 3 \cdot 30 = 60$ неопытных консультантов.
Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного $Q$. Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то $q_1 = 0$, $q_2 = Q$, $l = 0$, $L = 2Q$ то есть $q_1$ и $l$ должны лежать на левой границе допустимого интервала, а $q_2$ и $L$–– на правой. Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте 1, должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при $q_1 = 50$ и $q_2 = −10$, а при этом $Q = 40$, то нужно выбирать $q_1 = Q = 40$ и $q_2 = 0$). В зависимости от способа решения пункта 1 (которое может быть в общем виде приведено в пункте 2, если пункт 1 решался для $Q = 25$) это будет или правая ($q_2 \ge Q$, $L \ge 2Q$), или левая ($q_1 \le 0$, $l \le 0$) граница найденного интервала. Решая соответствующее неравенство ($q_1 = 2Q − 30 \le 0$ или $q_2 = 30 − Q \ge Q$ или $l = 6Q − 90 \le 0$ или $L = 30 \ge 2Q$), вo всех четырех случаях получаем $Q \le 15$. Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше $15$.

Более реалистичной является многопериодная модель, в которой неопытные работники со временем приобретают опыт, и у фирмы возникает выбор: нанимать опытных сотрудников со стороны или «выращивать» их у себя. Однако если опытные сотрудники, получившие опыт внутри фирмы и опытные работники со стороны в среднем (1) обладают одинаковой квалификацией и (2) требуют оди- наковую заплату, то более сложная модель сводится к простой модели, рассмотренной в данной задаче. См. также: <a href="http://www.caseinterview.com/management-consulting">Управленческий консалтинг</a>, <a href="http://www.mckinsey.com/global-locations/europe-and-middleeast/russia/ru/our-work">Примеры проектов в России</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Big_Three_(management_consultancies)">MBB</a>