Задача 12 заключительного этапа ВОШ

В N-ске есть 150 человек, которым утром нужно улететь в Москву (возвращаться они не пла- нируют). Готовность платить за билет каждого из них зависит от времени вылета рейса; для каж- дого пассажира существует некое идеальное для него время вылета, и чем больше отклонение фактического времени от идеального, тем меньше его готовность платить. Готовность платить пассажира i можно рассчитать по формуле $V_{i}(t)=8−2∣t−t^*_{i} ∣$, где $V_{i}(t)$ –– максимальная цена, которую пассажир $i$ готов заплатить за билет (в тыс. руб.), $t$ – фактическое времяв ылета , а $t^*_{i}$ -идеальное время вылета с точк изрения пассажира $i$. Разные пассажиры предпочитают разное время вылета. Количество пассажиров с соответствующими значениями $t^*_{i}$ представлено в таблице. \begin{array}{|c|c|} \hline t^*_{i} & n \\ 6 ч. утра & 30 \\ 7 ч. утра & 40 \\ 8 ч. утра & 60 \\ 9 ч. утра & 20 \\ \hline \end{array} В связи с небольшим размером рынка рейсы из N-ска в Москву организует только одна авиакомпания –– «N-авиа». В распоряжении авиакомпании есть один самолет вместимостью как раз 150 человек. Издержки на осуществление рейса равны 500 тыс. руб. независимо от количества проданных билетов и времени вылета. Компания стремится к тому, чтобы ее прибыль от рейса была максимальной.

Предположим, компания назначает единую цену на все билеты. Какую цену она назначит и какое время вылета она выберет (время вылета необязательно целое)?
Предположим,что,несмотря на то, что все места в самолете одинаковые, компания может назначать на них разные цены (вплоть до того, что каждое из 150 мест может быть продано по своей цене). В этом случае процесс взаимодействия компании с потенциальными пассажирами устроен так:
- Компания определяет время вылета и цены на разные места и публикует эту информацию на сайте;
- Когда человек заходит на сайт компании, он, видя время вылета и цены, решает, будет ли он покупать билет. Если он покупает билет, то он покупает самое дешевое место из оставшихся.
Предположим, что чем раньше для человека идеальное время вылета, тем раньше он приходит на сайт для покупки билетов (те, кто привык рано вставать, привыкли все дела делать раньше).* Найдите время вылета, которое выберет авиакомпания, и определите, сколько ценовых категорий мест она выделит, каковы будут количество мест и цена билета в каждой категории. Укажите в ответе все оптимальные для авиакомпании варианты.

*Более реалистично было бы предполагать случайный порядок захода посетителей на сайт, однако такая предпосылка значительно усложняет решение.

Сложность

Автор

Алексей Суздальцев

Решение и ответ

Первый вариант: вылет в 7:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Второй вариант: вылет в 8:30 утра, и предлагаются 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. В обоих случаях прибыль компании составит 350 тыс. руб.

Меняя время вылета $t$, фирма меняет готовность потребителей платить и тем самым кривую спроса на билеты. Поэтому один из способов решения задачи — найти кривую спроса, оптимальную цену и максимальную прибыль при каждом $t$, а затем промаксимизировать эту прибыль по $t$. Этот способ, однако, трудоемок. В данном случае легче найти, какое $t$ максимизирует спрос при данном $p$, затем уже максимизировать прибыль по $p$. При цене $p$ захотят купить билет потребители, для которых $t_{i}\in \left[\frac{t−(8−p)}{2};\frac{t+(8−p)}{2} \right]$.Это отрезок длины $(8 − p)$ c центром в точке $t$. Заметим, что при $p\le5$ тыс. руб., всегда можно найти отрезок длины $(8 − p)$, накрывающий множество $t^*_i\in\{6, 7, 8, 9\}$. Например, можно выбрать отрезок с центром $t = 7,5$. Иными словам, в этом случае фирма всегда может выбрать $t$ так, чтобы билеты захотели купить все 150 человек –– достаточно выбрать $t = 7∶30$ утра. Максимальная выручка в данном случае достигается при цене 5 и равна $5⋅150 = 750$. При $p\in(5; 6]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 3 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем $t^*_i\in\{6, 7, 8\}$, спрос предъявят 130 человек, а если накрыть группы с идеальным времени 7, 8 и 9 часов, спрос предъявят 120 человек. Максимальная выручка равна $130 ⋅ 6 = 780$, для ее достижения нужно назначить $t = 7$ утра. При $p\in(6; 7]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 2 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем 6 и 7 часов, спрос предъявят 70 человек; 7 и 8 часов –– 100 человек; 8 и 9 часов –– 80 человек. Максимальная выручка равна $100 ⋅ 7 = 700$, для ее достижения нужно назначить $t = 7:30$ утра. При $p\in(7; 8]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 1 группу потребителей. Это должна быть самая многочисленная группа. Таким образом, максимальная выручка в данном случае равна $8 ⋅ 60 = 480$, для ее достижения нужно назначить $t = 8$ утра. При $p > 8$ ни один потребитель не приобретет билет ни при каком времени вылета. Сравнивая выручку во всех случаях выше, получаем, что оптимальным является назначение цены 6 тыс. руб. за билет и времени вылета 7 часов утра. (Прибыль фирмы составит 280 тыс. руб.)
Для лучшего понимания происходящего рассмотрим пару примеров. Фирме имеет смысл выделять несколько ценовых категорий билетов, если она сможет продать билеты дороже тем, кто готов за них платить больше. Для этого необходимо, чтобы больше была готовность платить именно тех потребителей, кто позже приходит на сайт. Например, если установить время вылета $t = 9$ часов утра, то готовности платить для четырех групп будут равны $(2; 4; 6; 8)$ тыс. руб, и если фирма выделит 4 категории билетов: 30 билетов по 2 тыс., 40 билетов по 4 тыс., 60 билетов по 6 тыс., и 20 билетов по 8 тыс., она сможет продать билет каждому потребителю по его готовности платить, и в итоге получит выручку 740 тыс. руб, что гораздо больше, чем максимальная выручка при $t = 9$, если назначать единую цену (480 тыс. руб.). С другой стороны, если установить время вылета $t = 7$ часов утра, то готовности платить будут равны $(8; 6; 4; 2)$ тыс. руб, и трюк с выделением нескольких категорий не пройдет, так как самая ранняя группа купит билеты по 2, а не по 8, и.т.д. В этом случае фирма не сможет заработать выручку больше, чем в случае установления единой цены. Несмотря на то, что при $t = 9$ фирма может изъять у каждого потребителя его готовность платить, не факт что $t = 9$ является оптимальным, ведь фирма, меняя $t$, может менять сами готовности платить. Тем не менее, из примеров выше становится ясно, что ценовая дискриминация будет приносить выгоду скорее при больших $t$, чем при маленьких. Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Будем называть группы потребителей по идеальному для них времени вылета; за $V_t$ обозначим готовность платить члена группы с идеальным временем $t$. Заметим, что при оптимальной для фирме ценовой политике выполнено следующее: если некая группа потребителей покупает билеты, то все группы, для которых идеальное время вы- лета меньше, тоже покупают билеты. Действительно, если это не так, то фирма может опустить цену на часть билетов так, чтобы более «ранние» группы купили их, не меняя поведение более «поздних» групп, и прибыль ее увеличится. Таким образом, в оптимуме возможны 4 варианта: (1) Все потребители покупают билеты; (2) Только группы 6, 7, 8 покупают билеты; (3) Только группы 6 и 7 покупают билеты; (4) Только группа 6 покупает билеты. Будем рассматривать эти 4 случая по отдельности. Случай 1. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 9]$. Встанем в $t = 9 $и будем уменьшать $t$. При $t\in[8,5; 9]$ готовности платить $V_6$, $V_7$, $V_8$ и $V_9$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8\le V_9$. Выделяя 4 категории билетов — 30 билетов по $V_6$ тыс., 40 билетов по $V_7$ тыс., 60 билетов по $V_8$ тыс., и 20 билетов по $V_9$ тыс, фирма сможет изъять у каждого потребителя его готовность платить. При этом при уменьшении $t$ суммарная готовность платить групп 6, 7 и 8 растет сильнее, чем падает суммарная готовность платить группы 9 (так как $2⋅(30+40+60) > 2⋅20$), и поэтому максимальная выручка на этом участке достигается при $t = 8,5$; несложно посчитать, что она равна 850 тыс. руб. При $t\in[8; 8,5)$ будет выполнено соотношение $V_6\le V_7\le V_9⩽ V_8$, и потому, чтобы продать билеты всем группам, фирме придется установить единую цену для групп 8 и 9, равную $V_9$ (для групп 6 и 7 цены по-прежнему равны $V_6$ и $V_7$). При этом на этом участке выручка уменьшается при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) < 2 ⋅ (20 + 60)$. При $t\in[7,5; 8)$ фирме придется устанавливать единую цену для групп 7, 8 и 9, равную $V_9$; выручка по-прежнему будет уменьшаться при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 20 + 60)$. При $t < 7,5$ фирме придется устанавливать единую цену на все билеты, чтобы все группы купили билет. Эта цена равна $V_9$, и поэтому выручка, очевидно, будет убывать при уменьшении $t$. Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 8,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб. Случай 2. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 8]$. (Про группу 9 забудем, будем считать, что фирма предлагает только 130 билетов.) Встанем в $t = 8$ и будем уменьшать $t$. Аналогично Случаю 1, при $t\in[7,5; 8]$ готовности платить $V_6$, $V_7$ и $V_8$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8$, и потому фирма сможет изъять у каждой из трех групп ее излишек, выделяя три ценовые категории. При этом выручка будет возрастать при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) > 2 ⋅ 60$. На этом участке оптимальным является $t = 7,5$, несложно посчитать, что максимальная выручка опять равна 850 тыс. руб. При $t < 7,5$ фирме придется назначать единую цену для групп 7 и 8, равную $V_8$; так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 60)$, выручка будет убывать при уменьшении $t$. При $t < 7$ цена должна быть общей для всех трех групп, и выручка вновь будет убывать при уменьшении $t$. Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 7,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб. Случай 3. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ (30 + 40) < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным. Случай 4. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ 30 < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным.

Задача 12 заключительного этапа ВОШ — 2016