Из пункта Н в пункт С

Для удобства оформления в дальнейших пунктах обозначим число автомобилистов, которые едут по маршрутам Н-З-С, Н-Ч-С и Н-З-Ч-С как $x, y, z$ соответственно.

а) В равновесии некоторое количество автомобилей едут по пути Н-Ч-С, а остальные автомобили — по пути Н-З-С. Запишем в таблицу возможные варианты. Первая и третья колонки таблицы будут означать число автомобилистов на Н-Ч-С и Н-З-С соответственно. Вторая и четвёртая колонки — время в пути.

• Предположим, что в равновесии $y=5$. Тогда конкретному автомобилисту выгодно отклониться и выбрать Н-З-С, поскольку он потратит меньше времени ($29<49$). Значит, такая ситуация не может быть равновесной. Аналогично, $y \ne 4$ и $y \ne 3$, ведь $33<45$ и $37<41$.
• Предположим теперь, что $x=5$. Тогда конкретному автомобилисту выгодно отклониться и выбрать Н-Ч-С, поскольку он потратит меньше времени ($33<45$). Значит, такая ситуация не может быть равновесной. Аналогично, $x \ne 4$, поскольку $37<41$.
• Таким образом, единственное потенциальное равновесие соответствует случаю, при котором $x=3, y=2$.
• Тогда автомобилистам на Н-Ч-С не выгодно отклоняться ($41>37$), равно как и автомобилистам на Н-З-С ($41>37$).
• Среднее время в пути, как и время каждого конкретного автомобилиста, составит 37 минут.

б) Решение пункта (б) следует из пункта (в), поэтому мы решим пункт (в). Участник Конкурса мог решить пункт (б). Если пункт (в) решён полностью, то за пункт (б) также выставляется максимальный балл.

в) Рассмотрим все возможные ситуации.

Пусть $z=0$. Тогда, исходя из пункта (а), в равновесии $x=3$, $y=2$. Однако, если автомобилист, избравший путь Н-З-С, отклонится и поедет по пути Н-З-Ч-С, его время в пути составит $11+4+5=20<37$ минут. Значит, в равновесии $z \ne 0$.

Рассмотрим теперь $z \geq 3$. Тогда время в пути на Н-З-Ч-С составляет не менее $11+24+11=46$ минут. Если вместо этого поехать по пути Н-З-С, время не превысит $17+26=43$ минуты. Значит, равновесное значение $z$ может быть равно только 1 или 2.

Для оставшихся значений $z$ составим таблицы, аналогичные пункту (а).

Сперва рассмотрим $z=1$:

• Заметим, что время в пути по Н-З-Ч-С всегда не более 26 минут. Таким образом, автомобилисты на Н-З-Ч-С и Н-Ч-С не влияют друг на друга.
• Аналогично рассуждениям из пункта (а), $x \ne 4$, ведь $33 < 44$.
• Также $x \ne 3$, так как $37 < 40$, $y \ne 4$, потому что $32 < 45$, и $y \ne 3$, ведь $36 < 41$.
• Единственное потенциальное равновесие — это ситуация, при которой $x = y = 2$.
• В этом случае никто из автомобилистов не хочет менять свой путь — ни с Н-З-С, ни с Н-Ч-С, ни с Н-З-Ч-С.
• Осталось проверить отклонения в пользу Н-З-Ч-С. Для этого воспользуемся таблицей при $z=2$.

Теперь рассмотрим $z=2$:

• При $y=1$, на участке Ч-С — 11 минут, при $y=2$ — 14 минут. Однако при $y=2$, автомобилисты из Н-З-Ч-С добираются до С за 30 минут, в то время как Н-Ч-С автомобилисты только до Ч — значит, для обеих групп время на Ч-С составляет 8 минут.
• $x=3$ не может быть равновесием, ведь $42<43$. Также $y \ne 3$ и $y \ne 2$ — $35<38$, $39<43$.
• Осталось $y=1, x=z=2$, но это не равновесие, т.к. автомобилисту на Н-З-Ч-С выгодно сменить путь и потратить 37 минут (см. случай $z=1$).

г) В новом равновесии два автомобилиста тратят в пути 37 минут, два — по 36 минут, и один — 20 минут. Ранее каждый тратил по 37 минут. Среднее время снизилось, никому не стало хуже. Это Парето-улучшение — ситуация, при которой кому-то стало лучше, а никому — хуже. Строительство новой дороги оказалось выгодным, так как сократило общее время.

д) Среди возможных аргументов:

• Строительство новых дорог может стимулировать покупку автомобилей и увеличить пробки.
• Снижение числа автомобилей улучшает экологическую обстановку. Выхлопные газы — пример негативного внешнего эффекта, то есть ситуации, при которой поведение одних людей ухудшает положение других.