Задача 2 ОЧ-2014 (9 класс)

Создано: 31.07.2017

Последнее изменение 06.02.2026

1

0

На совершенно конкурентном рынке предприниматель работает на собственном самосвале и перевозит гравий. Собственный вес самосвала составляет 8 тонн. За перевозку 1 тонны гравия он получает 2000 рублей. Известны предельные издержки (в рублях) на перевозку каждой дополнительной тонны груза (за 1 рейс):

$MC(q)=3q^2-220q+4400$, где $q$ – количество тонн гравия

Средние расходы на перевозку 1 тонны груза (AC) (за 1 рейс): $$AC(q)=q^2-110q+4400$$

Какое количество груза будет перевозить автомобиль при таких условиях? Какую прибыль получит предприниматель?
Предположим, что наш предприниматель решил соблюдать закон. По закону максимальный вес грузового автомобиля составляет 40 тонн. Какую прибыль в этих условиях получит предприниматель?
Какого размера должен быть штраф за превышение максимального веса грузового автомобиля, чтобы предпринимателю было неважно – соблюдать закон или нет (при условии, что нарушение обязательно будет выявлено)?
Анализируя средние издержки, посчитайте, какую максимально возможную прибыль на единицу продукции (на 1 тонну гравия) может получить предприниматель.

Сложность

Решение и ответ

1. Воспользуемся условием максимизации прибыли на рынке совершенной конкуренции. Оптимальным является объём выпуска, при котором цена равна предельным издержкам фирмы (заметим, что это необходимое условие максимизации прибыли):

$p=MC$

Получаем уравнение:

$3q^2-220q+4400=2000,$

решая которое, получаем два уровня выпуска: $q_1=60; q_2=\dfrac{40}{3}.$ Прибыль, которую получает предприниматель, равна: $PR=TR-TC=p\cdot q-q\cdot AC(q)$ Максимальная прибыль достигается при $q=60$ и составляет $2000\cdot60-60\cdot(60^2-110\cdot60+4400)=36000.$ При $q=\dfrac{40}{3}$ прибыль отрицательна: $$2000\cdot\dfrac{40}{3}-\dfrac{40}{3}\cdot\Biggl(\left(\dfrac{40}{3}\right)^2-110\cdot\dfrac{40}{3}+4400\Biggr)=\left(-2400+110\cdot\dfrac{40}{3}\right)\cdot\dfrac{40}{3}-\left(\dfrac{40}{3}\right)^3 \lt0$$ 2. Теперь предпринимателю запрещено провозить 60 тонн гравия. Максимально возможный объём гравия теперь составляет: 40-8=32 тонны. Прибыль, которую получит предприниматель, составит при этих условиях: $2000\cdot32-32\cdot(32^2-110\cdot32+4400)=3072.$ 3. При штрафе ниже, чем $36000-3072=32928$, предпринимателю будет выгодно нарушать закон. Соответственно, предпринимателю все равно, нарушать закон или нет при штрафе, равном 32928. 4. Для ответа на данный вопрос необходимо найти максимальное значение прибыли на единицу продукции, т.е. величины $\pi=\frac{TR-TC}{q}.$ Заметим, что $\frac{TR-TC}{q}=\frac{p\cdot q-TC}{q}=p-AC(q)$. Максимум данной функции достигается тогда, когда достигается минимум функции $AC(q)$. График функции $AC(q)=q^2-110q+4400$ – парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, данная функция достигает минимума в вершине, т.е. при $q=110/2=55$. Значение функции в точке $q=55$ составляет $AC(55)=55^2-110\cdot55+4400=1375.$ Таким образом, максимальное значение прибыли на единицу продукции равно $2000-1375=625$.