Алиса может выбрать один из трех вариантов:
- Пойти на выставку, взяв обувь напрокат.
- Пойти на выставку без обуви, взятой напрокат.
- Не ходить на выставку (в этом случае брать обувь напрокат нет смысла).
Рассмотрим вариант 1. В этом случае $x_3=x_4=1$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_1=x_1 x_2+20$ (осталось выбрать только потребление конфет и печенья). Поскольку Алиса берет обувь напрокат за $p_4=700$, а выставка бесплатна, она может потратить на конфеты и печенье 1300. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2\le 1300$. Понятно, что в силу возрастания функции полезности Алиса будет тратить все деньги, так что $x_2=130/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_1=x_1\left(130/11-(25/11)x_1\right)+20$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=13/5$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_1^*=389/11$.
Рассмотрим вариант 2. В этом случае $x_3=1$, $x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_2=x_1 x_2+36$. Поскольку Алиса покупает билет на выставку за $p_3$, она может потратить на конфеты и печенье $(2000-p_3)$. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000-p_3$, откуда $x_2=(2000-p_3)/110-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_2=x_1\left((2000-p_3)/110-(25/11)x_1\right)+36$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=(2000-p_3)/500$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: \[U_2^*=\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36.\]
Рассмотрим вариант 3. В этом случае $x_3=x_4=0$, то есть Алиса будет максимизировать функцию $U_3=x_1 x_2$. Других трат нет, так что она может потратить на конфеты и печенье сумму 2000. Составим бюджетное ограничение: $250x_1+110x_2= 2000$, откуда $x_2=200/11-(25/11)x_1$. Подставляя это в функцию полезности, получаем $U_3=x_1\left(200/11-(25/11)x_1\right)$. Это парабола с ветвями вниз, находим вершину: $x_1^*=4$. Подставляя это в функцию, находим максимальное значение: $U_3^*=400/11$.
Нетрудно заметить, что
лучше не ходить на выставку вообще, чем ходить в обуви на длинных шпильках ($400/11>389/11$, так что вариант 1 никогда не является наилучшим для Алисы). Чтобы сравнить варианты 2 и 3, составим неравенство: \[\frac{(2000-p_3)^2}{110000}+36 \ge \frac{400}{11}\]
Решая это неравенство с учетом неотрицательности цены, получаем $p_3\le 1800$, то есть при ценах, больших 1800, Алиса предпочтет вариант 3, а при ценах, меньших 1800, — вариант 2 (при $p_3=1800$ она безразлична между вариантами). Составим функции спроса:
\begin{align*}
&x_1^*=\begin{cases}
(2000-p_3)/500, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
4, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases} &&
x_2^*=\begin{cases}
(2000-p_3)/220, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
100/11, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases} \\
&x_3^*=\begin{cases}
1, &\text{ если } p_3\le 1800, \\
0, &\text{ если } p_3> 1800, \\
\end{cases}
&& x_4^*=0
\end{align*}
